La convolution (correspondant à l'opération mathématique "produit de convolution") est une opération fondamentale dans des tas de domaines.
On ne peut guère traiter de transformation de Fourier, de fonctions de Green, sans utiliser de produit de convolution.
Mais sans entrer dans ces aspects théoriques, un des aspects pratiques de la convolution est sa capacité à permettre l'analyse, le traitement, et la correction de signaux dégradés par des opérations qui sont appelées "filtres linéaires et invariants par translation".
Exemples de signaux simples:
- un signal s(t) dépendant du temps, comme un signal sonore, un signal d'émission électrique à l'entrée d'un câble, un signal d'émission optique à l'entrée d'une fibre optique,... Dans ces cas, le filtre peut être par exemple la dégradation du signal au cours de sa propagation, et le résultat du produit de convolution le signal observé après cette dégradation.
- un signal s(x,y) comme une image "parfaite". Dans ce cas, le filtre peut représenter la dégradation par un système optique, et le résultat du produit de convolution l'image finale obtenue.
Le comportement du filtre est caractérisé par sa "réponse impulsionnelle" ou "fonction d'appareil", autrement dit sa réponse à un signal de type pic de Dirac, c'est-à-dire une impulsion extrêmement brêve. La caractéristique d'un tel signal est d'avoir un spectre très riche (sa transformée de Fourier est une fonction constante, le signal contient toutes les fréquences). Il sonde donc le filtre sur tout le spectre. Si le filtre était parfait, sa réponse à un pic de Dirac serait un pic de Dirac. Mais compte tenu de ses imperfections, sa réponse est la "réponse impulsionnelle".
Pour que la convolution puisse représenter ce type de dégradation de signal, il faut que le filtre soit linéaire et invariant par translation. La linéarité veut dire que si l'excitation est doublée, la réponse est doublée. L'invariance par translation signifie qu'il doit se comporter toujours de la même manière.
*Pour un signal s(t), il doit se comporter de la même manière à tous les instants. Ce n'est guère contraignant.
- Pour un signal s(x,y), il doit se comporter de la même manière pour tout (x,y), autrement dit partout dans l'image. Il y a peu de chances que ce soit parfaitement réalisé, surtout compte tenu du fait que les dégradations peuvent provenir de multiples sources: diffraction, défaut de mise au point, défauts optiques, aberrations chromatiques,... Mais très souvent on s'en approche bien, notamment avec de bons systèmes optiques.
Correction: en connaissant la fonction d'appareil, un traitement adapté dans l'espace de Fourier permet de corriger les défauts introduits par un filtre linéaire et invariant par translation. En photographie, divers logiciels savent exploiter ces corrections.
- Pour les photos de ciel étoilé, certains logiciels d'astrophotographie se servent du fait que les étoiles fournissent la fonction d'appareil (l'image théorique d'une étoile devrait être ponctuelle, et ce qu'enregistre le capteur est donc la fonction d'appareil).
- Pour des photos "ordinaires", certains logiciels (DxO PhotoLab par exemple) testent en laboratoire tous les couples boitiers / objectifs pour mesurer les fonctions d'appareil et enregistrer les traitements à appliquer afin de corriger le maximum de défauts de l'image. Le gain en qualité des images est spectaculaire!
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